Integral de x

Si la función a integrar es x, las fórmulas de integración son:

Ejemplos

$integral de la potencia fraccionaria$
integral de una potencia

2.3.4 Integral de en

e^{^x} dx : Desde la derivada
Dado : e^{^x} = e^{^x}. Teorema Fundamental de Cálculo

e^{^x} = e^{^x}

e^{^x} dx = e^{^x} + c (constante C)

2.3.5 Integral de una constante por una función

de x.

La derivada de cualquier función constante es cero. Una vez se ha encontrado una primitiva F, sumándole o restándole una constante C se obtiene otra primitiva, porque (F + C) ' = F ' + C ' = F'. La constante es una manera de expresar que cada función tiene un número infinito de primitivas diferentes.

Por ejemplo, supóngase que se quiere encontrar las primitivas de cos(x). Una de estas primitivas es sin(x). Otra es sin(x)+1. Una tercera es sin(x)-π. Cada una de estas funciones tiene por derivada cos(x), por lo tanto todas son primitivas de cos(x). Resulta que añadir y restar constantes es el único grado de libertad que hay al encontrar primitivas diferentes de la misma función. Es decir, todas las primitivas son las mismas con la diferencia de una constante. Para expresar este hecho para cos(x), se escribe:

\int \cos(x)\,dx = \sin(x) + C.

Sustituyendo C por un número cualquiera, se obtiene una primitiva. En cambio, escribiendo C en vez de un número se obtiene una descripción compacta de todas las primitivas posibles de cos(x). C se denomina constante de integración. Se puede comprobar fácilmente que todas estas funciones son, en efecto, primitivas de cos(x):

${d\over dx}[\sin(x) + C]$	$= {d\over dx}[\sin(x)] + {d\over dx}(C)$
	$= \cos(x) + 0\,$
	$= \cos(x)\,.$

2.3.6 Integral de una suma (diferencia) de funciones.

[f(x) ± g(x)] dx

f(x) dx

g(x) dx

En palabras:

La integral de la suma de dos funciones es la suma de las integrales de las funciones individuales, y la integral de la diferencia de dos funciones es la diferencia de las integrales de las funciones individuales.

Regla de múltiples constantes:

kf(x) dx

f(x) dx

(k constante)

En palabras:

Para tomar la integral de una constante multiplicada por una función, se toma la integral de la función sola, y después se multiplica la respuesta por la constante. (En otras palabras el constante "sigue para el paseo".

¿Por qué son válidas estas reglas? Porque la derivada de una sum es la suma de las derivadas, y el caso es parecido para diferencias y múltiplos constantes.